量子计算系列：

唠唠闲话

狄拉克符号，也叫“bra-ket 符号”，于 1939 年被狄拉克提出，他将“括号（bracket）”这个单词一分为二，分别代表这个符号的左右两部分，左边是“bra”，即为左矢；右边是“ket”，即为右矢。把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间。这是量子力学里引入的记号，本质上是线性代数，但表达对偶向量，算子等概念时更直观简略，更有优势。

第一篇写长了，不利于阅读，索性把介绍狄拉克符号的部分独立出来

下设 H=Cn\mathcal{H}=\mathbb{C}^n 为复数希尔伯特空间，即复数域上的完备內积空间。一般地，用列向量表示空间 H\mathcal{H} 中的向量，行向量表示对偶空间 H∗\mathcal{H}^* 的向量。

bra-ket

  1. H\mathcal{H} 中的向量用右失 ∣ψ⟩\vert\psi\rangle 表示，称为 ket-vector 或 ket 。

  2. H\mathcal{H} 上向量 ∣ψ⟩\vert\psi\rangle 和 ∣φ⟩\vert\varphi\rangle 的內积记为 (∣ψ⟩,∣φ⟩)(\vert\psi\rangle,\vert\varphi\rangle) ，注意复內积左边变量反线性，右边变量线性：
    (λ∣ψ⟩,μ∣φ⟩)=λ∗μ(∣ψ⟩,∣φ⟩)(\lambda \vert\psi\rangle,\mu\vert\varphi\rangle) = \lambda^*\mu(\vert\psi\rangle,\vert\varphi\rangle)

  3. 定义 bracket： ⟨φ∣ψ⟩:=(∣φ⟩,∣ψ⟩)\langle\varphi\vert\psi\rangle:= (\vert\varphi\rangle,\vert\psi\rangle)
    bracket 诱导了 ∣φ⟩\vert\varphi\rangle 的对偶向量 ⟨φ∣∈H∗\langle\varphi\vert\in \mathcal{H}^*，称其 ⟨φ∣\langle\varphi\vert 为 bra-vector 或 bra。

注记：

  • 由 ⟨λφ∣ψ⟩=λ∗⟨φ∣ψ⟩\langle\lambda\varphi\vert\psi\rangle = \lambda^*\langle\varphi\vert\psi\rangle 知， λ∣φ⟩\lambda\vert\varphi\rangle 的对偶向量为 λ∗⟨φ∣\lambda^*\langle\varphi\vert 而不是 λ⟨φ∣\lambda\langle\varphi\vert 。
  • 左失 ⟨φ∣\langle\varphi\vert 称为 “bra”，右失 ∣ψ⟩\vert\psi\rangle 称为 “ket”，凑在一起 ⟨φ∣ψ⟩\langle\varphi\vert\psi\rangle 正好是个 “bracket”，这也许是物理学家的一种幽默吧。
  • 从矩阵角度看， 这些都是简单概念
    • ∣ψ⟩\vert\psi\rangle 为列向量；
    • ⟨φ∣\langle\varphi\vert 为行向量；
    • ⟨φ∣ψ⟩\langle\varphi\vert\psi\rangle 为行列向量的乘积，一个数值；
    • 向量 ∣φ⟩\vert\varphi\rangle 取对偶得 ⟨φ∣\langle\varphi\vert ，相当于矩阵的共轭转置。

算子，投射算子

  1. H\mathcal{H} 上的线性变换称为算子，或者算符。

  2. 算子 ∣ψ⟩⟨φ∣\vert\psi\rangle\langle\varphi\vert 定义如下

    ∣ψ⟩⟨φ∣:H⟶H∣ϕ⟩↦⟨φ∣ϕ⟩⋅∣ψ⟩\begin{align*} \vert\psi\rangle\langle\varphi\vert:\quad& \mathcal{H}\longrightarrow \quad\mathcal{H}\\ &\vert\phi\rangle\mapsto \langle\varphi\vert\phi\rangle\cdot\vert\psi\rangle \end{align*}

    注：∣ψ⟩⟨φ∣\vert\psi\rangle\langle\varphi\vert = 列向量 ⋅\cdot 行向量 = 矩阵 = 算子。

  3. 特别地，设 ∣ψ⟩\vert\psi\rangle 为单位向量，我们称 P=∣ψ⟩⟨ψ∣P=\vert\psi\rangle\langle\psi\vert 为投射算子。几何上， P∣φ⟩P\vert\varphi\rangle 为向量 ∣φ⟩\vert\varphi\rangle 在 ∣ψ⟩\vert\psi\rangle 方向上的投影。

  4. 讨论测量时还会用到记号：

    ⟨ψ∣A∣ψ⟩:=⟨ψ∣⋅(A∣ψ⟩)=(⟨ψ∣A)⋅∣ψ⟩=(⟨A†ψ∣)⋅∣ψ⟩\begin{align*} \langle \psi\vert A\vert\psi\rangle:=&\langle \psi\vert\cdot(A\vert\psi\rangle)\\ =&(\langle \psi\vert A)\cdot\vert\psi\rangle\\ =&(\langle A^\dagger\psi\vert)\cdot\vert\psi\rangle \end{align*}

    第一行：算子 AA 先作用右失上，再与左失做 bracket 运算
    第二行：算子 AA 先作用左失上，再与右失做 bracket 运算
    第三行：⟨ψ∣A=⟨A†ψ∣\langle\psi\vert A = \langle A^\dagger\psi\vert ，算子对左失作用 ⇔\Leftrightarrow 算子转置作用右失再取对偶。

张量积与克罗克内积

  1. 张量积由泛性质定义：

    (u+v)⊗w=u⊗w+v⊗ww⊗(u+v)=w⊗u+w⊗v(c⋅u)⊗v=u⊗(c⋅v)=c⋅(u⊗v)\begin{align} (u+v)\otimes w&=u\otimes w+v\otimes w\\ w\otimes(u+v)&=w\otimes u + w\otimes v\\ (c\cdot u)\otimes v&=u\otimes (c\cdot v)=c\cdot (u\otimes v) \end{align}

  2. 克罗克内积（Kronecker product）是矩阵的一种张量积，定义如下

    A⊗B=(a11Ba12B⋯a1,n−1Ba1nBa21Ba22B⋯a2,n−1Ba2nB⋮⋮⋱⋮⋮an1Ban2B⋯an,n−1BannB)A\otimes B=\begin{pmatrix} a_{11}B&a_{12}B&\cdots&a_{1,n-1}B&a_{1n}B\\ a_{21}B&a_{22}B&\cdots&a_{2,n-1}B&a_{2n}B\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}B&a_{n2}B&\cdots&a_{n,n-1}B&a_{nn}B \end{pmatrix}

    例如

    (123456)⊗(b11b12b21b22)=(b11b122 b112 b123 b113 b12b21b222 b212 b223 b213 b224 b114 b125 b115 b126 b116 b124 b214 b225 b215 b226 b216 b22)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{rr} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr|rr|rr} b_{11} & b_{12} & 2 \, b_{11} & 2 \, b_{12} & 3 \, b_{11} & 3 \, b_{12} \\ b_{21} & b_{22} & 2 \, b_{21} & 2 \, b_{22} & 3 \, b_{21} & 3 \, b_{22} \\ \hline 4 \, b_{11} & 4 \, b_{12} & 5 \, b_{11} & 5 \, b_{12} & 6 \, b_{11} & 6 \, b_{12} \\ 4 \, b_{21} & 4 \, b_{22} & 5 \, b_{21} & 5 \, b_{22} & 6 \, b_{21} & 6 \, b_{22} \end{array}\right)

  3. 狄拉克符号：以下记号均表示向量 ∣ψ⟩\vert\psi\rangle 和 ∣φ⟩\vert\varphi\rangle 的张量积
    ∣ψ⟩⊗∣φ⟩=∣ψ⟩∣φ⟩=∣ψ,φ⟩=∣ψφ⟩\vert\psi\rangle\otimes\vert\varphi\rangle=\vert\psi\rangle\vert\varphi\rangle=\vert\psi,\varphi\rangle=\vert\psi\varphi\rangle