唠唠闲话

本篇用 GAP 和 SageMath 研究 Weyl 群扩张群的结构,顺带演示编程能做什么样的任务,以及是怎么完成的。

内容安排如下:


记号,问题及结论

记号和问题

  1. 符号和定义

    符号定义补充L复数域上半单李代数HCartan子代数S单反射集S={si}i=1nW=SWeylACartan矩阵A=(Aij)n×n(Φ,Π)根系和单根系{ei,fi,hi}i=1nL的代数生成元Der(L)导子代数eδ,δDer(L)幂零导子诱导同构eδ:=k=01k!δkInn(L)内自同构群eadx生成,xLadx幂零\begin{array}{|c|c|c|} \hline 符号 & 定义 & 补充\\\hline L&复数域上半单李代数& -\\\hline H&Cartan 子代数 & -\\\hline S&单反射集 & S=\{s_i\}_{i=1}^n\\\hline W=\langle S\rangle&Weyl 群 & -\\\hline A&Cartan 矩阵 & A=(A_{ij})_{n\times n}\\\hline (\Phi,\Pi)&根系和单根系 & -\\\hline \{e_i,f_i,h_i\}_{i=1}^n& L 的代数生成元 & -\\\hline Der(L)&导子代数 & -\\\hline e^\delta,\delta\in Der(L)& 幂零导子诱导同构 & e^\delta:=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\delta^k\\\hline Inn(L)&内自同构群 & 由 e^{adx} 生成,x\in L 且 adx 幂零\\\hline \end{array}

    特别地,由于伴随作用 adei,adfiade_i,adf_i 为幂零导子,定义内自同构

    θi=eadeieadfieadei \theta_i=e^{ade_i}e^{-adf_i}e^{ade_i}

    θi\theta_i 生成的群为 W~\widetilde{W},即

    S~={θi}i=1n, W~=S~ \widetilde{S}=\{\theta_i\}_{i=1}^n,\ \widetilde{W}=\langle \widetilde{S}\rangle

  2. W~\widetilde{W} 的群结构是本篇的研究内容,具体地,从 WeylWeyl 群半直积角度与自由群商两个角度进行讨论。

  3. 定义内自同构子群 W~\widetilde{W} 到 Weyl 群的映射 φ\varphi

    φ:Inn(L)Ww~w~H\begin{aligned} \varphi : Inn(L)&\rightarrow W\\ \tilde{w}&\mapsto \left.\tilde{w}\right|_H \end{aligned}

    Carter prop.7.18 知,φ\varphi 为满的群同态且 φ(θi)=si\varphi(\theta_i)=s_i

  4. 记群同态的核 K~=ker(φ)\widetilde{K}=ker(\varphi),则有

    W~/K~W, W~K~σW \widetilde{W}/\widetilde{K}\cong W, \ \widetilde{W}\cong\widetilde{K}\rtimes_\sigma W

主要结论

  1. W~KσW\widetilde{W}\cong K\rtimes_\sigma WKKWW 如下表

    typeAnBnCnDnE6E7E8F4G2K(C2)212n(C2)n1(C2)n1(C2)212(n1)(C2)6(C2)7(C2)8(C2)4(C2)2WSn+1(C2)nSn(C2)nSn(C2)212(n1)SnD26\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline type&A_n&B_n&C_n&D_n&E_6&E_7&E_8&F_4&G_2\\\hline K&(C_2)^{2\lfloor\frac 12n\rfloor}&(C_2)^{n-1}&(C_2)^{n-1}&(C_2)^{2\lfloor\frac 12(n-1)\rfloor}&(C_2)^{6}&(C_2)^{7}&(C_2)^{8}&(C_2)^{4}&(C_2)^{2}\\\hline W&S_{n+1}&(C_2)^n\rtimes S_n&(C_2)^n\rtimes S_n&(C_2)^{2\lfloor\frac 12(n-1)\rfloor}\rtimes S_n&-&-&-&-&D_{2\cdot 6}\\\hline \end{array}

    一般地,K(C2)knK\cong (C_2)^{k_n}knk_n 为 Cartan 矩阵 Z2Z_2 列空间的维数

  2. W~\widetilde{W} 关于生成元 S~\widetilde{S} 的泛性质为

    (θiθj)o(sisj)={θi2,i=jθi2θj2,ij,o(sisj)=2θi2,ij,o(sisj)2,αi=2αj1,otherwise(1)θjθi2θj1={θi2θj2Aij is oddθi2Aij is even(2)θi2θj2=θj2θi2,  i,j(3)θ12ϵ1θ22ϵ2θn2ϵn=1, (ϵ1,ϵ2,,ϵn)A=0(4)\begin{align*} (\theta_i\theta_j)^{o(s_is_j)}&= \begin{cases} \theta_i^2,& i=j\\ \theta_i^2\theta_j^2,& i\neq j,o(s_is_j)=2\\ \theta_i^2,& i\neq j,o(s_is_j)\neq 2,\vert\alpha_i\vert=\sqrt 2\vert\alpha_j\vert\\ 1,& otherwise \end{cases}&(1)\\ \theta_j\theta_i^2\theta_j^{-1}&=\begin{cases} \theta_i^2\theta_j^2& A_{ij}\ is\ odd\\ \theta_i^2& A_{ij}\ is\ even \end{cases}&(2)\\ \theta_i^2\theta_j^2&=\theta_j^2\theta_i^2,\ \forall\ i,j&(3)\\ \theta_1^{2\epsilon_1}\theta_2^{2\epsilon_2}\cdots\theta_n^{2\epsilon_n}&=1,\ (\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A=0&(4) \end{align*}


W~的结构\widetilde{W}的结构

先由编程实验获取规律和思路,再推导证明。

编程实验

  1. 易证幂零导子有如下性质,这一性质将用于 θi\theta_i 的计算

    (adei)k=0(adfi)k=0k>maxji{Aij,2}(ade_i)^k=0\Leftrightarrow (adf_i)^k=0\Leftrightarrow k > \max_{j\neq i}\{-A_{ij},2\}

    特别地,对 ABCDEF 族单李代数:

    (adei)3=0, eadei=1+adei+12(adei)2(ade_i)^3=0,\ e^{ade_i}=1+ade_i+\frac{1}{2}(ade_i)^2

    G 族单李代数:

    (adei)4=0, eadei=1+adei+12(adei)2+13!(adei)3(ade_i)^4=0,\ e^{ade_i}=1+ade_i+\frac{1}{2}(ade_i)^2+\frac{1}{3!}(ade_i)^3

  2. 由于 θi2H=idH\left.\theta_i^2\right|_H=\left.id\right|_H ,记 KKθi2\theta_i^2 生成的 W~\widetilde{W} 子群,则

    K=θi2i=1,,nK~K =\langle\theta_i^2\vert i=1,\dots,n\rangle\subseteq\widetilde{K}

  3. 计算观察 W~,K,W\widetilde{W},K,W 三者关系,以 A 型为例

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    # 导入自编函数 Thetas
    load("../src/weyl_group_extension.sage")
    # compare G,W and K
    res = [['level','|G|','|W|','|K|','Structure of G','Structure of W','Structure of K']]
    s = "A" # Lie algebra of type A
    for n in range(1,8):
    thetas = [gap(mat) for mat in Thetas(s,n,reduced=True)]
    G = gap.Group(thetas)
    K = gap.Group([x^2 for x in thetas])
    W = WeylGroup([s,n])
    res.append([n, gap.Size(G), W.order(), gap.Size(K),
    gap.StructureDescription(G), W.structure_description(), gap.StructureDescription(K)])
    table(res)

    TypeGWKStructureofGStructureofWStructureofKA1221C2C21A22464S4S3C2×C2A396244(C2×C2):S4S4C2×C2A4192012016(C2×C2×C2×C2):S5S5C2×C2×C2×C2A51152072016((C2×C2×C2×C2):A6):C2S6C2×C2×C2×C2A6322560504064(C2×C2×C2×C2×C2×C2):S7S7C2×C2×C2×C2×C2×C2A725804804032064((C2×C2×C2×C2×C2×C2):A8):C2S8C2×C2×C2×C2×C2×C2\begin{array}{|c|cccccc|} \hline Type&|G|&|W|&|K|&Structure of G&Structure of W&Structure of K\\\hline A_1&2&2&1&C_2&C_2&1\\\hline A_2&24&6&4&S_4&S_3&C_2 \times C_2\\\hline A_3&96&24&4&(C_2 \times C_2) : S_4&S_4&C_2 \times C_2\\\hline A_4&1920&120&16&(C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2) : S_5&S_5&C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2\\\hline A_5&11520&720&16&((C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2) : A_6) : C_2&S_6&C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2\\\hline A_6&322560&5040&64&(C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2) : S_7&S_7&C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2\\\hline A_7&2580480&40320&64&((C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2) : A_8) : C_2&S_8&C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2\\\hline \end{array}

  4. 容易发现以下规律:

    1. K=K~K=\widetilde{K}
    2. K(C2)knK\cong (C_2)^{k_n} 为交换 p-群
    3. 归纳发现,KK 的结构有如下规律

    typeAnBnCnDnE6E7E8F4G2K=K~(C2)212n(C2)n1(C2)n1(C2)212(n1)(C2)6(C2)7(C2)8(C2)4(C2)2WSn+1(C2)nSn(C2)nSn(C2)212(n1)SnD26\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline type&A_n&B_n&C_n&D_n&E_6&E_7&E_8&F_4&G_2\\\hline K=\widetilde{K}&(C_2)^{2\lfloor\frac 12n\rfloor}&(C_2)^{n-1}&(C_2)^{n-1}&(C_2)^{2\lfloor\frac 12(n-1)\rfloor}&(C_2)^{6}&(C_2)^{7}&(C_2)^{8}&(C_2)^{4}&(C_2)^{2}\\\hline W&S_{n+1}&(C_2)^n\rtimes S_n&(C_2)^n\rtimes S_n&(C_2)^{2\lfloor\frac 12(n-1)\rfloor}\rtimes S_n&-&-&-&-&D_{2\cdot 6}\\\hline \end{array}

理论推导

下边推导 KK 的结构,解释上表规律,计算参看以前的录课草稿文件

  1. k=Aij(ij)k=A_{ij}(i\neq j),易证

    adfisadeirej=(rs)(kr+ss)s!adeirsejadeisadfirfj=(rs)(kr+ss)s!adfirsfjadf_i^sade_i^re_j=\begin{pmatrix}r\\ s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k-r+s\\ s\end{pmatrix}s!ade_i^{r-s}e_j\\ ade_i^sadf_i^rf_j=\begin{pmatrix}r\\ s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k-r+s\\ s\end{pmatrix}s!adf_i^{r-s}f_j

    继而得到 θi\theta_i 作用公式:

    θiej={1k!(adei)kej,ijfi,i=jθifj={(1)kk!(adfi)kfj,ijfi,i=j\begin{aligned} \theta_ie_j&=\begin{cases} \frac{1}{k!}(ade_i)^ke_j,& i\neq j\\ -f_i,&i=j \end{cases}\\ \theta_if_j&=\begin{cases} \frac{(-1)^k}{k!}(adf_i)^kf_j,& i\neq j\\ -f_i,&i=j \end{cases}\\ \end{aligned}

  2. 推论1:记 k=Aijk=A_{ij},则

    θi2ej=(1)kejθi2fj=(1)kfj\theta_i^2e_j=(-1)^ke_j\\ \theta_i^2f_j=(-1)^kf_j

  3. 推论2:令 τAut(L)\tau\in Aut(L) 如下定义,则有

    τ(ei)=fi, τ(fi)=ei, τ(hi)=hiτθiτ=τθiτ1=θi,  i\tau(e_i)=-f_i,\ \tau(f_i)=-e_i,\ \tau(h_i)=-h_i\\ \tau\theta_i\tau=\tau\theta_i\tau^{-1}=\theta_i,\ \forall\ i

  4. 推论3: wW~\forall\ w\in\widetilde{W}ww 被其在 {ei}i=1n\{e_i\}_{i=1}^n 上的像确定。

  5. 特别地,由于

    (θi2e1,θi2e2,,θi2en)=((1)Ai1e1,(1)Ai2e2,,(1)Ainen)(\theta_i^2e_1,\theta_i^2e_2,\cdots,\theta_i^2e_n)=((-1)^{-A_{i1}}e_1,(-1)^{-A_{i2}}e_2,\cdots,(-1)^{-A_{in}}e_n)

    得到嵌入映射 ψ\psi

    ψ:K(C2)nθi2rowi(A)\begin{aligned} \psi :K&\hookrightarrow (C_2)^n\\ \theta_i^2&\mapsto row_i(A) \end{aligned}

    容易验证 ψ\psi 为群同态

    ψ(θi2θj2)=ψ(θi2)+ψ(θj2)\psi(\theta_i^2\cdot\theta_j^2)=\psi(\theta_i^2)+\psi(\theta_j^2)\\

    KK 同构于 Cartan 矩阵的 Z2\mathbb{Z}_2 行空间的加法群,也解释了前边表格的规律

    KIm(ψ)spanZ2{rowi(A)  i}K\cong Im(\psi)\cong span_{\mathbb{Z}_2}\{row_i(A)|\ \forall\ i\}

  6. 举个例子, A3A_3 的 Cartan 矩阵秩为 2, K(C2)2K\cong (C_2)^2

    (210121012)Z2(010101010)\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right)\overset{\mathbb{Z_2}}{\Rightarrow} \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

到这一步,我们得到了 KK~K\subseteq \widetilde{K} 的群结构,下边借助 W~\widetilde{W} 的泛性质,证明反包含关系 K~K\widetilde{K}\subseteq K

W~\widetilde{W} 的泛性质

类似地,先用编程实验“知道”结论,再推导证明。

编程实验

  1. 设群 G=XG=\langle X\rangle,求 GG 关于生成元 XX 的泛性质。换言之,设 F(X)F(X) 为集合 XX 上的自由群,求 F(X)F(X) 子集 R(X)R(X),使得

    F(X)/R(X)GF(X)/\overline{R(X)}\cong G

    其中 R(X)\overline{R(X)}R(X)R(X) 生成的 F(X)F(X) 的正规子群。

  2. 用“群树”求解泛性质,叶子节点为泛性质等式,非叶子节点构成群树,以 S3=s1=(12),s2=(23)S_3=\langle s_1=(12),s_2=(23)\rangle 为例

    叶子节点给出粗糙的泛性质刻画,通过一些规则进一步简化,比如“删除子表达”

  3. 比如 A3A_3 情形

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    reshape = lambda l,count=3:[flatten(l[count*i : count*(i+1)]) for i in range(ceil(len(l)/count))]
    # Universal property of Weyl group extension
    s,n = "A",3
    G = MatrixGroup(Thetas(s,n))
    relations = UniversalPropertyOfGroup(G,s="")
    relations_2 = [rel for rel in relations if len(rel[0])<2*4]
    relations_3 = [rel for rel in relations_2 if len(set(rel[0]+rel[1]))<3]
    relations_print = relations2element(relations_3,FreeGroup(n,"x").gens())
    table(reshape(relations_print))

    每行显示三个等式,比如划线处代表 x1x02x1=x02x_1x_0^2x_1=x_0^2
    深度截图_选择区域_20220102115606

  4. 结合推导和实验,得出这几条性质:

    (θiθj)o(sisj)={θi2,i=jθi2θj2,ij,o(sisj)=2θi2,ij,o(sisj)2,αi=2αj1,otherwise(1)θjθi2θj1={θi2θj2Aij is oddθi2Aij is even(2)θi2θj2=θj2θi2,  i,j(3)θ12ϵ1θ22ϵ2θn2ϵn=1, (ϵ1,ϵ2,,ϵn)A=0(4)\begin{align*} (\theta_i\theta_j)^{o(s_is_j)}&= \begin{cases} \theta_i^2,& i=j\\ \theta_i^2\theta_j^2,& i\neq j,o(s_is_j)=2\\ \theta_i^2,& i\neq j,o(s_is_j)\neq 2,\vert\alpha_i\vert=\sqrt 2\vert\alpha_j\vert\\ 1,& otherwise \end{cases}&(1)\\ \theta_j\theta_i^2\theta_j^{-1}&=\begin{cases} \theta_i^2\theta_j^2& A_{ij}\ is\ odd\\ \theta_i^2& A_{ij}\ is\ even \end{cases}&(2)\\ \theta_i^2\theta_j^2&=\theta_j^2\theta_i^2,\ \forall\ i,j&(3)\\ \theta_1^{2\epsilon_1}\theta_2^{2\epsilon_2}\cdots\theta_n^{2\epsilon_n}&=1,\ (\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A=0&(4) \end{align*}

注记,性质 (1)-(4) 的证明:

  • 性质 (3)-(4) 上一小节已证
  • 性质 (2) 借助 θiej\theta_ie_j 公式或 τθiτ=θ\tau\theta_i\tau=\theta 证明
  • 对有限族 EFG 族,性质 (1) 直接检验;对无限族 A-D 族,利用 W~\widetilde{W} 的“局部性”化归为 Al(l4),Bl(2l4),Cl(2l4),Dl(4l5)A_l(l\leq 4),B_l(2\leq l\leq 4),C_l(2\leq l\leq 4),D_l(4\leq l\leq 5) 再计算验证
  • 实际上,(1)-(3) 以及前一节推导的公式,都可以利用局部性转化为有限情形的验证

理论推导

  1. 先证明 K~K\widetilde{K}\subseteq K,即证:

    θi1θikH=idHθi1θikKi.e.si1sik=1θi1θikK\begin{align*} \left.\theta_{i_1}\cdots\theta_{i_k}\right|_H=\left.id\right|_H&\Rightarrow\theta_{i_1}\cdots\theta_{i_k}\in K\\ i.e.\quad s_{i_1}\cdots s_{i_k}=1&\Rightarrow\theta_{i_1}\cdots\theta_{i_k}\in K \end{align*}

    定义自由群 F(S)F(S)F(S~)F(\widetilde{S}) 的子集如下:

    X={(sisj)o(sisj)  i,j}F(S)X~={(θiθj)o(sisj)  i,j}F(S~)X = \{(s_is_j)^{o(s_is_j)}|\ \forall\ i,j\}\subseteq F(S)\\ \widetilde{X} = \{(\theta_i\theta_j)^{o(s_is_j)}|\ \forall\ i,j\}\subseteq F(\widetilde{S})

    由 Coxeter 群泛性质,左侧表达式写为

    si1sik=x1y1xryr, where xiX,yiWs_{i_1}\cdots s_{i_k}=x_1^{y_1}\cdots x_r^{y_r},\ where\ x_i\in X,y_i\in W

    相应地,右侧式子化为

    θi1θik=x~1y~1x~ry~r, where x~iX~,y~iW~\theta_{i_1}\cdots \theta_{i_k}=\tilde x_1^{\tilde y_1}\cdots \tilde{x}_r^{\tilde{y}_r},\ where\ \tilde x_i\in \widetilde X,\tilde y_i\in \widetilde W

    进而:

    equality (1)x~iKequality (2)x~iy~iKx~1y~1x~ry~rK\begin{aligned} equality\ (1)&\Rightarrow \tilde x_i\in K\\ equality\ (2)&\Rightarrow \tilde x_i^{\tilde y_i}\in K\\ &\Rightarrow\tilde x_1^{\tilde y_1}\cdots \tilde{x}_r^{\tilde{y}_r}\in K \end{aligned}

  2. 下证性质 (1)-(4) 构成 W~\widetilde{W} 的泛性质:
    θi1θik=1\theta_{i_1}\cdots \theta_{i_k}=1,则

    As stated beforeθi1θik=x~1y~1x~ry~r, where x~iX~,y~iW~θi1θik(1)reduces to(θi1,12θi1,it12)y~1(θir,12θir,itr2)y~r(2)reduces toθj12θjt2 (3)reduces toθ12ϵ1θn2ϵn (4)reduces to1\begin{aligned} As\ stated\ &before\\ &\theta_{i_1}\cdots \theta_{i_k}=\tilde x_1^{\tilde y_1}\cdots \tilde{x}_r^{\tilde{y}_r},\ where\ \tilde x_i\in \widetilde X,\tilde y_i\in \widetilde W\\ \theta_{i_1}\cdots\theta_{i_k} &\underset{reduces\ to}{\overset{(1)}{\Longrightarrow}}(\theta_{i_1,1}^2\cdots\theta_{i_1,i_{t_1}}^2)^{\tilde{y}_1}\cdots(\theta_{i_r,1}^2\cdots\theta_{i_r,i_{t_r}}^2)^{\tilde{y}_r}\\ &\underset{reduces\ to}{\overset{(2)}{\Longrightarrow}} \theta_{j_1}^2\cdots\theta_{j_t}^2\ \underset{reduces\ to}{\overset{(3)}{\Longrightarrow}} \theta_1^{2\epsilon_1}\cdots\theta_n^{2\epsilon_n}\ \underset{reduces\ to}{\overset{(4)}{\Longrightarrow}} 1 \end{aligned}

  3. 最后,借助泛性质给出 W~=KσW\widetilde{W}=K\rtimes_\sigma W 中的 2-cocycle σ\sigma:

    • 定义陪集映射 γ\gamma

      γ:WW~w=si1si2sikθi1θi2θik\begin{aligned} \gamma :W&\rightarrow \widetilde{W}\\ w=s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}&\mapsto \theta_{i_1}\theta_{i_2}\cdots \theta_{i_k} \end{aligned}

      其中 si1si2siks_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_k}ww 的简约表达,且按字典序取到极小。
    • 定义 WWKK 上的作用:

      WAut(K)ww:KK  xγ(w)xγ(w)1\begin{aligned} W&\rightarrow Aut(K)\\ w&\mapsto w:K\rightarrow K\\ &\qquad\quad\ \ x\mapsto \gamma(w)x\gamma(w)^{-1} \end{aligned}

    • 定义二上圈 σ\sigma

      σ:W×WK(w1,w2)γ(w1)γ(w2)γ(w1w2)1\begin{aligned} \sigma :W\times W&\rightarrow K\\ (w_1,w_2)&\mapsto \gamma(w_1)\gamma(w_2)\gamma(w_1w_2)^{-1} \end{aligned}

    由泛性质知 σ\sigma 右侧取值在 KK 上,且式子可借助 (1)-(4) 化简。

总结延伸

关于编程

编程起到的作用为:

  • 计算数据,放大规律
  • 提前思路,确认可行性,引导证明,避免思路跑偏
  • 处理机械性的验证

延伸思考

  1. W~\widetilde{W} 的几何性质:

    • Weyl 群 WW 作用在 Cartan 子代数 HH 上,导出很多丰富的组合性质;类似地,W~\widetilde{W}LL 上的作用是否也有很好的性质。
    • WAut(Φ)W\hookrightarrow Aut(\Phi) 作成正根系的置换;W~(C2)nσAut(Φ)\widetilde{W}\hookrightarrow (C_2)^n\rtimes_\sigma Aut(\Phi) 作成根系置换及符号变换,是否也有好的组合性质,比如定义 s±αi:=θi±1s_{\pm\alpha_i}:=\theta_i^{\pm 1}
  2. 观察发现,对于 ADE 族,W~\widetilde{W} 作用在 e1e_1 上,生成 Chevalley 基;对 BCFG 族,W~\widetilde{W} 作用在 e1,ene_1,e_n 上,生成 Chevalley 基。也即,给出 3-n 生成元后,借助 W~\widetilde{W} 可生成一组 Chevalley 基。相关证明,及进一步的思考发散?

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    # 检验 Chevalley 基性质
    def check(s,n):
    L = LieAlgebra(ZZ,cartan_type=[s,n])
    pos_num = (len(L.basis())-n)/2
    thetas = Thetas(s,n,reduced=True)
    for mat in MatrixGroup(thetas):
    mat = matrix(mat)
    if max(max(mat)) > 1 or min(min(mat)) < -1:
    return False
    return True
    test_data = [["G",[2]],["A",range(1,6)],["F",[4]],["B",range(2,6)],["C",range(2,6)],["D",range(4,6)]]
    for s,l in test_data:
    print(s)
    for n in l:
    print(check(s,n),end="\t")
    print()

    注:取不同 3-n 生成元,得到的 W~\widetilde{W} 作为 Inn(L)Inn(L) 子群未必相同。

  3. 推导过程对于 Kac-Moody 代数也成立,相关的推广结论。